Paradoxo do Aluno

-> Duvido que alguém leia tudo...

O Paradoxo do Aluno surgiu de mais uma das “tertúlias dos tertulianos” onde, neste caso específico, eu e o Maya (e também o André) debatíamos qual a forma de enunciado de uma frequência que permite dar mais chances de um aluno – SEM SABER NADA - passar.

A resposta ao problema é aparentemente contra intuitiva. Uma frequência em escolha múltipla (na qual um aluno sabe a priori que grande número das alíneas são falsas) é mais difícil de se passar do que numa frequência de verdadeiras/falsas (de V/F) em que as distribuições de alíneas verdadeiras e falsas é variável.


O MAYA ACERTOU A RESPOSTA ANTES DO QUE EU (e o Macaco Adriano acertou a resposta antes de todos), porém o Maya não faz a demonstração que proponho agora, mas respondeu primeiro, que fique claro! Para não haver problemas. LOL

Para a resolução do problema consideraram-se as seguintes premissas:

-O número de alíneas em cada pergunta da frequência de escolha múltipla é cinco. E só se pode escolher uma alínea. Apenas uma está correcta, estando as outras erradas.

-O número de alíneas é no TOTAL igual nos dois testes.
Por exemplo: Se a frequência de V/F tem 25 alíneas, o teste de escolha múltipla terá 5 perguntas (5 perguntas com 5 alíneas em cada pergunta é igual a 25 alíneas de V/F. Outro exemplo seria numa frequência com 2.262.485 alíneas de V/F teriam uma frequência de escolha múltipla com 452.497 perguntas).

-O número de alíneas para a frequência são 25 (cada alínea tem igual valor na cotação da frequência). Para passar o aluno terá de acertar 13 na frequência de V/F e apenas duas na frequência de escolha múltipla.

-O aluno é um completo nabo e não sabe NADA sobre a matéria.

-Mais valia termos posto o Macaco Adriano a responder as perguntas.

-O tempo não é um factor crítico a frequência.

-O examinado é benfiquista.

-Não há desconto por errar em ambas as frequências.

-Mas há descontos nos Saldos de Inverno.

-Não choveu no dia da frequência.

-Consideramos o aluno examinado ser capaz de segurar uma esferográfica e ser minimamente alfabetizado para escrever F ou V no exame de V/F de forma legível (somente um X no de escolha múltipla).

-As escolhas do aluno foram aleatórias.

-O infeliz respondeu a tudo.

-Consideramos também que alguém no Mundo se importa com a resolução deste paradoxo.


Tendo feito estas pequenas premissas importantes para a resolução do problemas decidimos fazer os cálculos:

PROBABILIDADE DE SE PASSAR NUMA FREQUÊNCIA DE VERDADEIRAS E FALSAS (V/F)

Para compreender a resolução é importante ter-se em mente que independente se a resposta para alínea seja verdadeira ou falsa a probabilidade de se acertar em cada alínea será de 50% (1/2). Espectáculo de conclusão!!!! E que os acontecimentos são independentes (acertar uma questão não influencia a outra).

Contudo o que importa não é considerar quantas alíneas verdadeiras (ou falsas) estão entre as 25 escolhidas pelo professor, mas quantas o aluno acertará.

O número de grelhas que o professor pode escolher como resolução do exame com 25 alíneas vão desde todas verdadeiras até todas falsas, e corresponde a um número de 33.554.432 grelhas (casos possíveis), isto é, 2^25 = 33.554.432 (Arranjo com repetição de dois elementos, tomados de 25 a 25).

Convém-nos agora determinarmos o número de escolhas aleatórias que um aluno pode escolher e que correspondem a um exame com nota positiva (casos favoráveis), logo as grelhas com 13, 14, 15, 16, … , 23, 24 e 25 respostas certas são os casos favoráveis, então para determinarmos quantas grelhas preenchem estes requisitos basta somarmos o número de combinações das grelhas supracitadas.

Assim existem (25 C 13) = 5.200.300 grelhas em que o aluno acertou 13 questões e errou as outras 12 questões, da mesma forma que existem (25 C 14) = 4.457.400 grelhas em que o aluno acertou 14 questões e errou as outras 11, os cálculos prosseguem (sempre diminuindo os casos favoráveis) até o último, (25 C 25) = 1 grelha, em que o aluno faz o pleno e acerta todas as escolhas conforme o professor colocou na grelha de resolução.

Ao usar a Lei de Laplace (consideramos equiprováveis os resultados e que o caro leitor saiba um pouco do bicho-de-sete-cabeças chamado MATEMÁTICA), conseguimos estimar a probabilidade de se passar na frequência de V/F de forma aleatória:

p(B) = (número de casos favoráveis) / (número de casos possíveis)


Sendo B = acontecimento “passar na frequência”

A fracção calculada é:

Logo,

p(B) = (16789866) / (33554432)

p(B) = 0.500377 (aproxidamente 50 %!) Para um exame com "só" 25 V/F.


PROBABILIDADE DE SE PASSAR NUMA FREQUÊNCIA DE ESCOLHA MÚLTIPLA

Determinada a probabilidade de passar num exame de V/F falta-nos a frequência de escolha múltipla. A abordagem a resolução deste problema é diferente.

Curiosamente sabemos que das 25 alíneas (5 perguntas) temos 20 Falsas e apenas 5 Verdadeiras, mas isso, como veremos não aumentará a probabilidade de eu passar em exame, muito pelo contrário (daí o paradoxo).

Em cada pergunta 4 são falsas e apenas uma verdadeira. A probabilidade de se acertar em cada pergunta a resposta certa é de 1/5 (20%). Que rica conclusão!!!! Logo para um aluno passar (conforme as premissas) deverá acertas 2, 3, 4 ou 5 perguntas. Ora, utilizando a probabilidade do acontecimento contrário [relembre caro leitor que p(A) = 1 – p(~A)], sabemos que a probabilidade de um aluno passar num exame de escolha múltipla é um menos a probabilidade de errar em todas ou acertar só uma.

Probabilidade de “errar em todas” (acontecimento E):

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Probabilidade de “acertar só uma pergunta” (acontecimento S):

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Onde 4/5 representa a probabilidade de se errar a questão em quatro questões e 1/5 de acertar…

Logo, p (E) = 0.32768 e p (S) = 0.4096


Então p(B) = 1- (0.32768+0.4096) = 0.26272 (aproximadamente 26%) Num exame com 5 escolhas múltiplas...

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Por fim, Concluímos que se é mais provável passar em um exame/frequência de V/F do que um de escolha múltipla para o mesmo número de alíneas... OU NÃO! (Tou a brincar, tou a brincar...)

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E que para um aluno que sabe a matéria a probabilidade de cada questão não existe, pois é um acontecimento certo. : )

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Cumprimentos,

F. Varandas

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P.S.:Desculpem não ter muita piada...

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P.S.2:Neste caso os termos frequência, exame e testes têm iguais significado...

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P.S.3: Os erros presentes neste textos não são da responsabilidade do autor mas sim da sua educação científica deficiente... "Ide reclamar com os meus professores" é o lema...